浮点数的表示范畴
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浮点数表示
一个浮点数（Floating Point Number）由三个根本成分构成：符号（Sign）、阶码（Exponent）和尾数（Mantissa）。平常可以用下面的格局来表示浮点数：
| S | P | M |
其中S是符号位，P是阶码，M是尾数。
按照IEEE（老美电气和电子工程师学会）754标准中的定义，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。两者的S、P、M所占的位数乃至表示办法由下表可知：
| S | P | M | 表示公式 | 偏移量 | |
| 单精度浮点数 | 1（第31位） | 8（30到23位） | 23（22到0位） | (-1)^S*2(P-127)*1.M | 127 |
| 双精度浮点数 | 1（第63位） | 11（62到52位） | 52（51到0位） | (-1)^S*2(P-1023)*1.M | 1023 |
其中S是符号位，只要0和1，离别表示正负
P是阶码，平常使用移码表示（移码和补码只要符号位相反，其余都一样。关于正数而言，原码、反码和补码都一样；关于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1）。阶码可认为正数，也可认为负数，为了处置负指数的状况，实际的指数值按要求需要加上一个偏向（Bias）值作为留存在指数域中的值，单精度数的偏向值为127，双精度数的偏向值为1023。例如，单精度的实际指数值0在指数域中将留存为127，而留存在指数域中的64则表示实际的指数值-63，偏向的引入使得关于单精度数，实际可以表达的指数值的范畴就变成-127到128之间（包括两端）。
M为尾数，其中单精度数为23位长，双精度数为52位长。IEEE标准要求浮点数必需是标准的。这意味着尾数的小数点左侧必需为1，因此在留存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来留存更多的尾数。这样实际上用23位长的尾数域表达了24位的尾数。例如关于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为1.001101 × 23，所以实际留存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去除小数点左侧的1，并用0在右侧补齐。
按照标准要求，没法准确留存的值必需向最接近的可留存的值停止舍入，即不足一半则舍，一半以上（包罗一半）则进。不外关于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当需要舍入的值恰好是一半时，不是简便地进，而是在前后两个等距接近的可留存的值中，取其中最后一位有效数字为零者。
据以上剖析，IEEE 754标准中定义浮点数的表示范畴为：
| 二进制（Binary） | 十进制（Decimal） | |
| 单精度浮点数 | ± (2-2^-23) × 2127 | ~ ± 10^38.53 |
| 双精度浮点数 | ± (2-2^-52) × 21023 | ~ ± 10^308.25 |
浮点数的表示有必然的范畴，超出范畴时会发生溢出（Flow），一样称大于绝对值最大的数据为上溢（Overflow），小于绝对值最小的数据为下溢（Underflow）。
浮点数的表示约定
单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE 754标准定义的，其中有一些非凡约定，例如：
1、当P=0，M=0时，表示0。
2、当P=255，M=0时，表示无限大，用符号位来肯定是正无限大还是负无限大。
3、当P=255，M≠0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。
非标准浮点数
当两个绝对值微小 的浮点数相减后，其差值的指数大概超出同意范畴，终究只能近似为0。为理解决此类问题，IEEE标准中引入了非标准（Denormalized）浮点数，规定当浮点数的指数为同意的最小指数值时，尾数不必是标准化（Normalized）的。有了非标准浮点数，去除了隐含的尾数位的制约，可以留存绝对值更小的浮点数。并且，由于不再受到隐含尾数域的制约，上述关于微小 差值的问题也不存在了，由于所有可以留存的浮点数之间的差值一样可以留存。
按照IEEE 754标准中的定义，标准和非标准浮点数的表示范畴可归纳为下表：
| 标准浮点数 | 非标准浮点数 | 十进制近似范畴 | |
| 单精度浮点数 | ± 2^-149 至 (1-2^-23)*2^-126 | ± 2^-126 至 (2-2^-23)*2^127 | ± ~10^-44.85 至 ~10^38.53 |
| 双精度浮点数 | ± 2^-1074 至 (1-2^-52)*2^-1022 | ± 2^-1022 至 (2-2^-52)*2^1023 | ± ~10^-323.3 至 ~10^308.3 |
与IEEE 754相关的标准
本文的结论基于IEEE 754标准，别的一个标准是IEEE 854，这个标准是关于十进制浮点数的，但没有规定详细格局，所以很少被采纳。别的，从2000年开端，IEEE 754开端修订，被称为IEEE 754R，目的是融合IEEE 754和IEEE 854标准。该标准在浮点格局方面的修订有：1、参加了16位和128位的二进制浮点数格局；2、参加了十进制浮点数格局，采纳了IBM公司提出的格局。
总结：以上就是本篇文章的全部内容了，但愿对大家有所帮忙。
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